Techniczne szczęście

 

 

Co ma wspólnego technika z przesądami? Dosyć długo sądziłem, że nic. Jednak w końcu przyszło mi na to, że muszę przyznać ze spuszczoną głową: pech istnieje. Choć trudno w to uwierzyć, sprawdziłem ten fakt wielokrotnie za pomocą komputera. I by nie było wątpliwości, nie chodzi tu o żaden chwyt reklamowy, czy grę słów, mającą przyciągnąć czytelnika. Chodzi mi dokładnie o to: symulacje potwierdzają, że jak Ci się dobrze powodzi, to masz dużą szansę, że tak będzie dalej i odwrotnie, jak jest kiepsko, to na wyjątkowego farta raczej nie ma co liczyć.

Komputer służy do grania. O tym wie każde dziecko. Jednak były czasy, gdy takie zastosowanie tej maszyny, wtedy zwanej mózgiem elektronowym, wydawało się czystym świętokradztwem. Komputer służył zasadniczo do robienia tak zwanego postępu naukowo-technicznego, a zasiadali przed nim bardzo uczeni zazwyczaj okularnicy. Mieli bardzo mądre miny i robili coś, czego się zrozumieć nie dało. Ogólnie było to coś niezmiernie ważnego, w czym cała ludzkość pokładała nadzieje na przyszłe tysiąclecia.

Jednym z pierwszych zastosowań komputerów było rozwiązywanie równań różniczkowych, które normalnymi metodami rozwiązać się nie dały. Metody numeryczne są znane od bardzo dawna i jedynie brak maszynerii, która umożliwiłaby uporanie się z gigantyczną buchalterią powodował, że nie okazywano nimi większego zainteresowania.

Owe równania wzięły się na przykład z problemu wielu ciał. Nie wdając się w matematyczne szczegóły, gdy mamy Słońce i Ziemię samotnie pędzące w przestrzeni, gdy inne ciała niebieskie, planety, gwiazdy są tak daleko, że możemy je zaniedbać w obliczeniach, można stosunkowo łatwo wykombinować równanie ruchu Ziemi w biegu dookoła Słońca. Będzie to elipsa, Ziemia będzie się nieco zbliżała i oddalała od naszej gwiazdy, biegnąc po swej orbicie.

Gdy musimy uwzględniać inne planety, okaże się, że sprawa jest bardzo skomplikowana. Czasami uda się wykombinować jakieś szczególne rozwiązanie, ale zazwyczaj – prawie nigdy, mówiąc szczerze – nie znajdziemy algebraicznej postaci toru ruchu. Wiadomo to już od dawna, że nawet takie rozwiązania nie istnieją, tak jak nie ma dokładnej wartości liczby pi.

Wszelako zazwyczaj w kosmosie mamy do czynienia z układami wielu ciał i tory ich ruchu jakoś liczyć trzeba. Postępowanie jest w idei bardzo proste. Z pomiarów mamy zazwyczaj jakieś początkowe parametry. Jeśli by ich nie było, możemy spróbować je założyć. Możemy także je zgadywać: mamy do tego dosyć doświadczenia.

Gdy założymy jakieś położenie ciała, jego początkową prędkość, to obliczamy, gdzie się znajdzie za małą chwileczkę, jaką będzie miało prędkość, zakładając, że siły, którymi działają na niego inne ciała, nie zmieniły się.

Potem obliczamy na podobnej zasadzie losy wszystkich ciał. Mamy ich nowe położenia, nowe siły, z jakimi się przyciągają i powtarzamy całą procedurę. Dość łatwo zauważyć, że błąd obliczeń będzie rósł w miarę liczby kroków. Będzie on także tym większy, im dłuższe przedziały czasu będziemy brali. Wreszcie problemem może się okazać dokładność obliczeń. Za każdym razem trzeba gdzieś skończyć wyciąganie pierwiastków, nawet zwykłe mnożenie.

Tak więc tego typu prace były piekielnie uciążliwe: dało się je podjąć dopiero posiadając komputery. Takie było zresztą jedno z pierwszych ich zadań. Taką buchalteryjną metodą można poradzić sobie nie tylko z planetami, ale np. z prądami w obwodzie elektrycznym, z temperaturami w atmosferze. Zresztą, dzięki obliczeniom wykonywanym dla meteorologii odkryto chaotyczne równania różniczkowe.

Współcześnie komputery obciąża się z premedytacją bardzo skomplikowanymi obliczeniami, które pozwalają na przykład przewidywać zmiany temperatury podczas rozruchu wielkich energetycznych kotłów, albo rozwój reakcji łańcuchowej w bombie atomowej. Bardzo często, mimo ogromnej pracy w to włożonej, od początku wiadomo, że to trzymamy wyniki albo fałszywe, albo nie bardzo zgodne z prawdą. Takie zajęcie nazywa się badaniem modelu zjawiska. Chyba nie zdradzę zbyt strzeżonej tajemnicy, gdy powiem, że nie zawsze chodzi o to, by dojść do sytuacji, w której wyniki obliczeń zgodzą się z eksperymentem.

Obliczenia numeryczne to temat rzeka. Ja chciałem opowiedzieć o czymś nie bardzo poważnym. Komputer pozwala bardzo ładnie symulować niektóre rzeczywiste zjawiska i to akurat takie, do jakich zdaje się nie być ani trochę przygotowany. To jest chaos. Wyniki obliczeń zawsze są identyczne: nie ma mowy o jakiejkolwiek przypadkowości. Gdy wystartujemy od tych samych liczb, na maszynie tego samego typu z tym samym systemem operacyjnym i oprogramowaniem, zawsze dojdziemy do tego samego punktu. Nie ma więc mowy o jakiś szumach czy fluktuacjach. W tym komputer różni się całkowicie od natury: biegnie idealnie po swoich śladach. Pisałem już o tym kilka razy: jednak to się całkiem prosto da pokonać. Algorytmy generatorów liczb pseudolosowych to potrafią. Przypomnę: jakimś sposobem komputer, a właściwie program potrafi wygenerować ciąg liczb. Jest on całkowicie powtarzalny, ale też, gdy nie znamy algorytmu, całkowicie nieprzewidywalny dla osoby (badacza) obserwującej z zewnątrz proces. Zachowuje się jak dane wyskakujące z bardzo dobrej maszyny losującej.

Jak to działa, pisałem już dawno w Farenheicie. Nie ważne. To coś pozwala dokonywać komputerowych eksperymentów z udziałem przypadku. Można się przekonać, że całkiem proste symulacje pozwalają, jeśli nie na rozwikłanie, to na dobrą ilustrację niektórych problemów.

Z przypadkiem wiąże się nieodłącznie Fortuna – symbol ludzkiego losu, szczęścia lub pecha. Dziś z punktu widzenia nauki pecha nie dopuszczamy.

Bardzo prosty eksperyment komputerowy podkopał u mnie tę pewność.

Fizycy doświadczalnicy nie ,,uważają`` za bardzo tego typu prac. Obowiązuje zasada: dostajesz to, co chciałeś. Mniej parlamentarnie jest to wyrażone powiedzeniem: śmieci na wejściu, śmieci na wyjściu. Komputer niczego nie wymyśla, on tylko wykonuje sekwencję czynności. Zazwyczaj można się spodziewać, do czego one doprowadzą. To nie jest realny fizyczny eksperyment. A jednak to, o czym wcześniej napisałem, badanie modelu czasami daje zaskakujące rezultaty. Przyczyna w tym, że badacz nie jest dosyć bystry. Pewnych rzeczy nie dostrzeże, coś przekręci. Obliczenia nie poddają się jego woli i w tym sensie są one obiektywne: spodziewamy się jakiegoś wyniku, a wychodzi nam zazwyczaj coś nieco innego. Obliczenia weryfikują konsekwencje założeń.

W dzisiejszych czasach pojedyncza osoba nie ma zazwyczaj najmniejszych szans by stworzyć jakiś ,,zawodowy`` model cyfrowy czegokolwiek. Można się tylko pobawić przy nauce programowania, zafundować sobie kilka sztuczek, podpatrzeć, jak co komputer robi. Jednak czasami nawet takie krotochwile potrafią człowiekowi coś zrozumieć, naprostować błędne przekonania.

Pozwolę sobie opisać bliżej mój model pecha. Po pierwsze musimy mieć wzorzec chaosu. Warto temu zagadnieniu poświęcić chwilę uwagi. Wiemy, że załatwi nam to odpowiedni program komputerowy. Jakie jednak własności ma to co on wyprodukuje? Są to liczby z pewnego zakresu, czasami od 0 do 1, czasami od 0 do 2 do 31 potęgi czyli do 2147483648. Może to być jeszcze inna liczba, ale istotne jest, że generator wybiera nam liczby z pewnego przedziału. Proste generatory nigdy nie powtórzą raz wybranej liczby. To odstępstwo od tego, co jest w rzeczywistości, jednak w praktyce nie szkodzi. Jeśli wybierzemy z wielkiego przedziału (2147483648) dwie liczby różniące się o 1 lub nawet 10 to np. na wykresie wylądują dokładnie w tych samych miejscach.

Dobry generator podaje kolejne liczby tak, że wylosowanie jakiejkolwiek z możliwych jest równo prawdopodobne. To jest dosyć istotne sprawa. Ona to powoduje, że komputer potrafi w eksperymencie z przypadkowością mniej oszukiwać od np. maszyny do Totolotka. Przyczyna jest taka: aby w fizycznym układzie, np. w bębnie z kulkami, wszystkie one miały jednakowe szanse, muszą być jak nadokładniej takie same. Maszyneria musi być doskonale symetryczna. Niewielka niesymetria (a nawet całkiem spora) nie przeszkodzi Monopolowi Loteryjnemu osiągać swe zyski, ale w symulacji komputerowej, gdzie dokonujemy nieraz miliardów losowań, nierówne szanse mogą całkowicie zniekształcić wyniki.

Generatory pseudolosowe mają swe wady i ich znajomość oraz testowanie nowych konstrukcji, to cała wiedza. W chwili obecnej jedną z metod jest ,,montowanie`` generatora do modelu zjawiska, którego przebieg w przypadku dobrego losowego algorytmu jest znane. Jeśli rezultat obliczeń odbiega od przewidywań, generator jest zakwestionowany.

Do naszych celów nie musimy się przejmować zbytnio wyrafinowanymi problemami obliczeniowymi. Wykonajmy symulację komputerową losu. Podzielmy płaszczyznę na dwie części za pomocą linii prostej na dobrą i złą. Nie jest istotne dlaczego, ale niech tak będzie. Nasz eksperyment wygląda tak: wypuszczamy coś, może to być jakiś człowieczek z punktu leżącego dokładnie na owej linii, pomiędzy obszarem dobrym i złym.

Dla jasności nasz wędrowiec porusza się przed siebie losowo w prawo, lub w lewo, raz brnąc w obszar zły, raz podążając w głąb terytorium szczęśliwego. Kierunek wybiera algorytm pseudolosowy. Ustawiamy program tak, że za każdym razem zmiana na dobre, lub złe dokonuje się z równym prawdopodobieństwem 1/2. Dzięki temu, że jednocześnie nasz obiekt porusza się do przodu, możemy prześledzić, gdzie poniosły go wiatry naszej komputerowej fortuny w kolejnych krokach. Gdy wykreślimy kilkanaście takich tras i się im przyglądniemy, stwierdzimy, że jedne niejako z urodzenia należały do szczęśliwców, inne do pechowców. (rysunek 22kB) Jedne i drugie wyglądają, jakby coś stale popychało naszych bohaterów w kierunku ich przeznaczenia. Niemożliwe? Nie ma tu najmniejszego oszustwa. To samo dostaniemy, gdy zamiast komputerowego generatora, zaczniemy rzucać monetą.

Można powiedzieć, że w samych założeniu eksperymentu wykluczamy pecha, bo w każdym kolejnym kroku zmiana kierunku jest równo prawdopodobna. Jest jednak pewien drobny szczegół, który w szkolnym rachunku prawdopodobieństwa jest raczej pomijany: to, że nasz człowieczek ma historię.

Pamiętając o tym możemy wyjaśnić, a nawet więcej naukowo uzasadnić istnienie pecha lub szczęścia. Na samym początku wszystko jest całkowicie symetrycznie. Nasz człowieczek może równie dobrze trafić na stronę szczęśliwą, jak i niedobrą. Jednak po kilku choćby krokach już on gdzieś jest. Wystarczy, że przytrafi mu się kilka kroków w kierunku terytorium nieszczęścia i już zostaje zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa i założeniem o równych szansach w każdym losowaniu pechowcem.

Jeśli zapytamy przed całym eksperymentem, jakie są szanse na to, by człowieczek w czterech kolejnych krokach wybrał złą drogę, to odpowiedź brzmi 1/16, gdy w każdym kolejnym losowaniu mamy tylko dwie możliwości. A jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzech kolejnych złych krokach zrobi on czwarty taki sam? Jedna druga.

Nasz naukowy pech ma szczególne własności. Gdy nas co trzy razy przytłucze, to bynajmniej nie jest tak, że mamy większe szanse na czwarte nieszczęście: zgodnie z założeniem w kolejnych próbach zawsze jest ono takie samo. Jednocześnie szanse na to, że będziemy tym, kogo przytłukło cztery razy po kolei, są kilkanaście razy większe.

Przekładając to na życiowe sytuacje, gdy nas okradli 2 razy, nie ma powodu uważać, że na trzecią kradzież mamy większe szanse od sąsiadów, ale to my możemy zostać pechowcem roku, a nie oni, bo ich nie okradziono jeszcze ani razu.

Być może jest to inaczej wypowiedziane przysłowie, że nieszczęścia chodzą parami.

Aby dojść do tego wszystkiego, nie trzeba żadnego eksperymentu, że można do owych czarnych wniosków dojść na gruncie samej teorii. Jednak zapewne widok trajektorii owych pechowców i szczęśliwców nie da nam dalej spokoju. Czy aby na pewno nie ma tu żadnego oszustwa? Czy to zgodne z rachunkiem prawdopodobieństwa, że skoro kilka złych losowań zapędziło naszego człowieczka w nieszczęścia, to czemu nie zdarzy się kilka kolejnych, które popchną go w przeciwną stronę?

No cóż: skoro komuś zdarzyło się 4 złe kroki, to jakie jest prawdopodobieństwo, że w 4 kolejnych pójdzie dobrze? 1/16. I ponieważ jest to mało, szczęście nie nadchodzi.

Nie do pominięcia jest to, że nasz eksperyment ma pewną skończoną i równą liczbę kroków. Gdy ktoś na samym początku zapędzi się w złą stronę, aby ukończyć drogę na dobrym terytorium, potrzebuje średnio więcej wyników dobrych, jak złych. Ktoś, kto jest już po dobrej stronie, ma największe szanse na zakończenie eksperymentu sukcesem. Aby było inaczej, musi on zaliczyć serię pechowych losowań, a to jest mało prawdopodobne. Co więcej: liczba losowań jest coraz mniejsza. Można wyliczyć w którym momencie nasz człowieczek ma jeszcze jakiekolwiek szanse zakończyć drogę po stronie szczęśliwej i kiedy wszelkie szanse się na to kończą. Dzieje się to bardzo szybko, bo im mniejsza liczba kroków do końca drogi, tym bardziej nieprawdopodobne wyniki losowań są potrzebne: np. seria 100 samych dobrych wyników przedzielona najwyżej 2, 3 złymi.

Tak więc startując z sytuacji prawie całkiem symetrycznej, dochodzimy do dosyć ponurego wniosk – w samej naturze jest coś niesympatycznego, niejako na starcie wybiera ona swych faworytów i takich, których nie lubi. I nic nam nie poprawi nastroju, nawet pewność, że to tylko geometria.

Chaos nie wygląda, jak tego chcemy. Gdy (pewnie już o tym pisałem) zaczniemy rozmieszczać na płaszczyźnie losowo punkty, to w krótkim czasie zobaczymy, że tworzą one podejrzane struktury. Fizycy nazywają je klastrami. Wyglądają naprawdę niepokojąco, wydaje się, że poszczególne punkty ,,zlepiają`` się ze sobą, tworzą wyraźne grupy, albo łańcuchy. (rysunek 27 kB )

A mimo wszystko, to jest prawdziwe przypadkowe rozmieszczenie na płaszczyźnie. (rysunek 14 kB) To tylko prosty efekt tego, że jest duże prawdopodobieństwo, iż zawsze znajdziemy sąsiadujący punkt, wyraźnie bliższy od innych. Oko dokonuje reszty: nawykłe do odgadywania kształtów, podsuwa nam nieistniejące zależności.

W ten sposób w naszej wyobraźni powstają gwiazdozbiory na niebie. Tu jeszcze na dodatek dochodzi inna okoliczność, kompromitująca zmysły: niektóre obiekty, które łączymy w jeden kształt, potrafią znajdować się w przestrzeni wielokrotnie dalej od Ziemi niż pozostałe. Niebo wydaje się nam sferą gwiazd, nie uwzględniamy trzeciego wymiaru, odległości od naszych oczu. W podobny sposób jak powstają fałszywe obrazy nasz umysł potrafi wyprodukować fałszywe zależności między zdarzeniami. Niemal zawsze z jednymi szczególnymi okolicznościami łączą się nam jakieś inne. I tak powstaje nieuchronnie świat magii. Ale to już całkiem inna opowieść.

Komputer pozwala nam to wszystko łatwo i pewnie sprawdzić. Wykonanie takich eksperymentów w niewirtualnej rzeczywistości byłoby bardzo kłopotliwe, pewnie sporo byśmy się napracowali, nim dalibyśmy wiarę wynikom.

Takie to bywają niespodziewane skutki zabaw z komputerem. Na pewno nie jest to najlepsza wiadomość, że istnienie pecha wynika rachunku prawdopodobieństwa. Nie jest też dobrą rekomendacją dla moich zdolności to, że wpadłem na to wszystko dopiero po przyglądaniu się wynikom symulacji komputerowych. Ale, że wpadłem, to już wiem, jak to z fortuną jest i czego od życia mam się spodziewać.