Adam Cebula „Średnio o średniej”

Para-Nauka nimfa bagienna - 23 grudnia 2015

Osobliwe i niezrozumiałe rysunki odnoszą się do kabalistycznie mistycznego zjawiska, jakim jest wartość średnia. Istnieje teoria,  że niegdyś potrafili ją wyliczyć uczniowie podstawówki, ale to było dawno i nieprawda. Adam Cebula wierzy w to, ale średnio.

Przeglądając Internet, zwróciłem uwagę na taką — moim zdaniem — ciekawostkę: banalne pojęcie wartości średniej ma w potocznej mowie inne znaczenie niż w, nazwijmy to szumnie, nauce. Wartość średnia w „zwykłym” rozumieniu jest czymś abstrakcyjnym, nieistniejącym. Wyliczamy średnią płacę… ależ oczywiście, nikt tej średniej nie dostaje. Jedynie cieszy się, gdy jest, i złości, gdy poniżej. Podobnie „średni wzrost” ma znaczenie jedynie, nazwijmy to, dywagacyjne. Wyliczamy tę wartość z premedytacją, celując na to, że np. zupełnie się nam nie przyda przy szyciu ubrań. Jeśli używamy tej średniej (wzrostu) np. do wyliczenia, ile materiału potrzeba na ubrania, to poszliśmy „po najmniejszej linii oporu” czyli linii najmniejszego oporu, czyli sięgnęliśmy po ową statystyczną, oszukaną czy wydumaną wartość, która nadaje się średnio do czegokolwiek. Średnia to coś, co wymyślili niezbyt życzliwi ludzkości matematycy czy jacyś inni dziwacy i służy głównie do wodzenia na manowce (przytaczania w sprawozdaniach) albo do naciągania, ale do niczego praktycznego nadać się nie może.

Po co się wylicza wartość średniej w pomiarach? Ano, aby możliwie najdokładniej podać wartość wielkości mierzonej. Wyobraźmy sobie że ważymy coś. Rysunek

waga

Schemat precyzyjnej wagi.

(waga.png) pokazuje schemat starej wagi laboratoryjnej. Mamy szalki (S) wiszące na belce (B) oraz wskazówkę W. Ta wskazówka jest ważna w mechanicznej konstrukcji, zwykle na niejumieszczony jest ciężarek, którym reguluje się czułość wagi. Kto nie ważył, ten nie wie, że ważąc, najpierw za pomocą odważników zrównoważamy ciężar tego, co ważymy — tak że wskazówka znajdzie się w zakresie skali — a dokładny odczyt otrzymujemy, sumując z wagą ciężarków i położenie wskazówki.

W jakim miejscu się ona zatrzyma? Teoretycznie tam, gdzie moment siły wynikający z ciężaru i długości wskazówki zrównoważy różnicę momentu siły wynikającego z długości belki, i tego, ile niedoważyliśmy albo przeważyliśmy, kładąc ciężarki. Praktycznie? Będzie gdzieś „około”. Jeśli wyobrazimy sobie pryzmat P w dużym powiększeniu, może to wyglądać trochę podobnie do tego, co namalowałem na kolejnym rysunku .

waga0

Pryzmat wagi w powiększeniu.

Zarówno nierówności podłoża, jak i niezwykle starannie wypolerowanego ostrza pryzmatu spowodują, że końcowe ustawienie wskazówki będzie PRZYPADKOWE. Owszem, za bardzo od tego teoretycznego nie może odbiegać, co więcej, im większej sobie zażyczymy odchyłki, tym rzadziej się będzie ona zdarzać, bo potrzeba, by spotkały się ze sobą i odpowiednie nierówności na pryzmacie i podłożu, i prędkość kiwania się belki.

Możemy się spodziewać, że jeśli wykonamy wiele ważeń i wyliczymy wartość średnią, to będzie ona bliższa wartości rzeczywistej niż wyniki z poszczególnych pomiarów. Gdyby ktoś kwestionował istnienie wartości rzeczywistej, to ta wartość średnia będzie bliższa wadze, jaką znajdziemy na urządzeniu o lepszej dokładności.

Może to nie jest bardzo odkrywcze, ale w mowie potocznej wartość średnia jest czymś średnio rzeczywistym, w pomiarach może to być wielkość bliższa niż wyniki wszystkich pomiarów. Ależ oczywiście, jeśli będziemy miarką centymetrową mierzyć dzieci w klasie, i wyliczymy z tego średnią, to będzie ta średnia abstrakcyjna. Ale jeśli będziemy ważyć wiele razy to samo coś, to zupełnie na odwrót. Trzeba myśleć, kiedy który przypadek otrzymamy, ale to już trochę inna para kaloszy. Tak w ogóle planowanie i rozumienie pomiarów to naprawdę bardzo trudna i nieefektowna sztuka, ale o zasadniczym znaczeniu dla nauki. Wiele osób nie rozumie, że teoria to rodzaj karcianych sztuczek. Sztuką jest dopasowanie teorii do pomiarów w taki sposób, by dało się planować kolejne eksperymenty.

W wielu wypadkach wyliczanie owej średniej ma średni sens. Np. w sytuacji, gdy dokładność odczytu jest dużo mniejsze niż dokładność pomiaru. Typowa sytuacja: mierzymy linijką długość ołówka. Gdy mamy dobry wzrok i robimy to starannie, to ilekroć byśmy nie mierzyli, dostaniemy np. 153 mm i „troszkę”. Odmienny wynik nie jest niczym innym, jak tylko efektem błędu, powiedzmy w ustawieniu ołówka. Średnia miałaby sens, gdybyśmy się wzięli za to „coś”.

Ważna sprawa: średnia ma sens, gdy rozrzut wyników jest wynikiem procesów losowych. Do tego chcemy, aby wyniki spełniały warunek tzw. rozkładu normalnego. Nie jest z pewnością dobrym pomysłem wykładanie tu teorii pomiarów i elementów statystyki, ale wskazanie, że działanie wartości średniej w różnych okolicznościach można popsuć. To ważna rzecz. To funkcjonuje, o ile mamy uczciwy chaos, ot co.

Nie zdajemy sobie sprawy, jak często korzystamy z uśrednionych wyników. Nie wiem, czy choćby raz gdzieś przeczytałem, że na tej zasadzie działa zwykłe radio. Mamy w nim urządzenie, które produkuje wartość średnią sygnału radiowego. Dobiega on z anteny do tak zwanego układu rezonansowego. Możemy go sobie wyobrazić jako rodzaj huśtawki. Jeśli popychamy ją w odpowiednich momentach, wówczas rozbuja się mocno. Jeśli nawet silnie popychamy, ale nie w rytmie wahań, amplituda wychyleń będzie niewielka. Ta własność jest najczęściej opisywana, układ działa wybiórczo, faworyzuje pewną częstotliwość, na którą został ustawiony. Ale amplituda wahań jest proporcjonalna do średniej wartości sygnału dobiegającego z anteny, wyliczonej z zwykle z kilkudziesięciu ostatnich wychyleń, czy — jak mówimy uczenie — okresów. Gdy popychamy huśtawkę, możemy na chwilę przestać to robić, będzie się kiwać dalej. Jak szybko maleje amplituda, określa tzw. dobroć układu drgającego. Im ona jest większa, tym kiwanie zmienia się wolniej, zarówno wtedy, gdy huśtawkę popychamy. jak i wówczas, gdy przestajemy. Dokładnie dobroć to stosunek całej energii układu drgającego do energii traconej podczas jednego okresu drgań.

Im większa jest dobroć układu drgającego, po tym większej liczbie okresów uśredniamy amplitudę wahań. Dla układów radiowych na częstotliwości rzędu kilku megaherców owa dobroć wynosi kilkadziesiąt . Ach, muszę dodać, owa dobroć jest wielkością bezwymiarową, bo to dżul podzielony przez dżula. Dla układów na wyższe częstotliwości jest ona większa, wynosi kilkaset, ale specjalne wykonania, tzw. filtry kwarcowe, mają ten parametr na poziomie setek tysięcy. Im wyższa dobroć, tym dłuższy okres uśredniania, tym mniejszy wpływ impulsów docierającego z anteny napięcia, które są w niezgodzie z rytmem kiwania się naszych huśtawek. Elektronicy mówią, że urządzenie ma coraz węższy zakres przenoszonych częstotliwości. To prawda, bo przy długim czasie uśredniania, elektryczne popchnięcia, które tylko nieznacznie różnią rytmem od tego właściwego dla układu rezonansowego, muszą jednak doprowadzić do znacznego spadku amplitudy. Im większa dobroć, tym dłuższy czas uśredniania sygnałów i tym większa selektywność obwodu, czyli zdolność do odsiewania właściwego sygnału od zakłócających.

Łatwo pokazać, że niestety nie można z dobrocią przesadzić. Jeśli odbieramy sygnały Morse’a to musimy odróżnić kropki od kresek, i by tak się działo, układy odbierające sygnały z anteny muszą się przestać bujać w wystarczająco krótkim czasie. Jeśli chcemy słuchać przekazu podawanego ludzkim głosem, ten czas, w którym wahania selektywnych obwodów niemal zanikną, nie może przekraczać jakieś 0,3 milisekundy, by dało się przenieść najwyższe tony, które są ważne w rozpoznaniu poszczególnych głosek. Dla precyzji trzeba by omówić tu szereg możliwych różnych sposobów modulacji fali nośnej. To już coś bardzo odległego od wartości średniej. Powiem tyle, że najprostsza do zrealizowania modulacja amplitudy jest też rozrzutna pod względem zajmowanego pasma, źle nadaje się do wydobywania z zakłóceń za pomocą wąskopasmowych filtrów. Zaś do najbardziej kompaktnej modulacji SSB, która jest mocno zawiła, jeśli chodzi o działanie, i trudna do wytłumaczenia, pasuje dobrze nasze wyliczenie.

W przypadku telegrafii czas zaniku drgań może dojść nawet do 0,1 sekundy. W efekcie bardzo silnie tłumione są sygnały odległe ledwie o kilkaset herców od „naszej” częstotliwości. To naprawdę bardzo mało: przy typowych częstotliwościach 10—20 MHz, używanych np. przez krótkofalowców, 100 Hz różnicy oznacza, że częstotliwości różnią się o jedną stutysięczną. Dlatego łączność telegraficzna jest taka odporna na zakłócenia. Polacy chwalili się, że gdy Amerykanie dokonywali ataku na Irak, pomimo postawienia bardzo silnych zakłóceń polska ambasada ciągle miała łączność.

Przykładem z zupełnie innej parafii, lecz chyba dobrze ilustrującym to, że „im średniej”, tym lepiej, jest uśrednianie obrazów. Z tym zagadnieniem wiąże się pytanie, o ile wyliczenie średniej z próbek zbliża nas do wartości dokładnej. Odpowiedź nie jest zbyt optymistyczna: jest lepiej o pierwiastek z liczby n. W przypadku obrazów mamy mnóstwo pikseli. Wyliczenie średniej powoduje, że rozrzut (to w tym wypadku bardzo nieprecyzyjne, ale intuicyjne pojęcie) ich wartości wokół wartości prawdziwych zmniejsza się 10 razy, jeśli każdy został wyliczony ze stu próbek. Po prostu robimy sto zdjęć tego samego planu, następnie z tych stu zdjęć tworzymy nowe w ten sposób, że wartość każdego piksela wyliczmy, biorącten sam co do pozycji na zdjęciu piksel z każdego ze stu zdjęć, i wyliczamy wartość średnią.

Jak działa taka operacja, pokazują zdjęcia. Na pierwszym mamy jedno ze stu dwudziestu siedmiu zdjęć składowych,

Ściągnij tekst:
Strony: 12

Mogą Cię zainteresować

Adam Cebula „Panegiryk dla Paracelsusa, czyli o hormezie ekologicznej”
Para-Nauka - 10 listopada 2017

Walka ze smogiem jest słuszna. Tego… ekhem… politycznie poprawna. Albo niepoprawna. To…

Adam Cebula „Powtórka z energetycznej atmosfery”
Para-Nauka - 20 października 2017

Tak, to prawda, już o tym pisałem. Jednak, skoro o tym się…

Adam Cebula „Moje sądzenie sędziów Powstania”
Felietony - 13 sierpnia 2014

  Chciałem zacząć od tego, że podziwiam łatwość wygłaszania przez ludzi historycznych sądów. To nieprawda. Nie podziwiam.…

Do NOT follow this link or you will be banned from the site!